14.已知在△BCE中,D是邊BC上一點,滿足CD=2BD=2CE=4,P是邊BE上一點.滿足∠BPD=∠DCE=60°.
(1)求證:P,D,C,E四點共圓,并求其外接圓的面積;
(2)求BP的長.

分析 (1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理,易證P,D,C,E四點共圓,進而判斷出CD為圓的直徑,可得外接圓的面積;
(2)利用余弦定理,求出BE,利用切割線定理,可得BP的長.

解答 證明:(1)如下圖所示:
∵∠BPD=∠DCE=60°,
∴P,D,C,E四點共圓,
又∵CD=2BD=2CE=4,
∴DE=$\sqrt{{CD}^{2}+{CE}^{2}-2CD•CE•cos∠DCE}$=$\sqrt{16+4-8}$=2$\sqrt{3}$,
∴CD2=CE2+DE2,即∠DEC=90°,
故CD即為P,D,C,E所在圓的直徑,
故圓面積S=4π;
(2)由余弦定理得:BE=$\sqrt{{BC}^{2}+{CE}^{2}-2BC•CE•cos∠DCE}$=$\sqrt{36+4-12}$=2$\sqrt{7}$,
由切割線定理得:BP•BE=BD•BC,即2$\sqrt{7}$BP=12,
∴BP=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$

點評 本題考查的知識點是圓內(nèi)接四邊形的判定定理,余弦定理,難度中檔.

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