Question

14．已知在△BCE中，D是邊BC上一點(diǎn)，滿足CD=2BD=2CE=4，P是邊BE上一點(diǎn)．滿足∠BPD=∠DCE=60°．
（1）求證：P，D，C，E四點(diǎn)共圓，并求其外接圓的面積；
（2）求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理，易證P，D，C，E四點(diǎn)共圓，進(jìn)而判斷出CD為圓的直徑，可得外接圓的面積；
（2）利用余弦定理，求出BE，利用切割線定理，可得BP的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）如下圖所示：
∵∠BPD=∠DCE=60°，
∴P，D，C，E四點(diǎn)共圓，
又∵CD=2BD=2CE=4，
∴DE=$\sqrt{{CD}^{2}+{CE}^{2}-2CD•CE•cos∠DCE}$=$\sqrt{16+4-8}$=2$\sqrt{3}$，
∴CD²=CE²+DE²，即∠DEC=90°，
故CD即為P，D，C，E所在圓的直徑，
故圓面積S=4π；
（2）由余弦定理得：BE=$\sqrt{{BC}^{2}+{CE}^{2}-2BC•CE•cos∠DCE}$=$\sqrt{36+4-12}$=2$\sqrt{7}$，
由切割線定理得：BP•BE=BD•BC，即2$\sqrt{7}$BP=12，
∴BP=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓內(nèi)接四邊形的判定定理，余弦定理，難度中檔．