Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，

（1）若點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（2）若二面角為直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一和已知的角度和邊長(zhǎng)關(guān)系可證得，從而可知；在利用三角形中位線可證得；根據(jù)線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）設(shè)交于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，從而可建立起空間直角坐標(biāo)系；利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.

（1）為等邊三角形，且是線段的中點(diǎn)

，

平面，平面 平面

點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)

平面，平面 平面

平面平面

（2）設(shè)交于點(diǎn)，連接

由對(duì)稱(chēng)性知，為的中點(diǎn)，且，

二面角為直二面角 平面

不妨設(shè)，則，，/p>

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，

，，

設(shè)平面的法向量為

則，即：

令，得，

直線與平面所成角的正弦值為