Question

已知x=1是函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m＜0，
（1）求m與n的關系式；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若m＜-4，求證：函數y=f（x）的圖象與x軸只有一個交點．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，求導，則f′（1）=0，求得m與n的關系表達式；
（2）根據（I），代入f（x）中，求導，令導數f′（x）＞0，求得單調增區(qū)間，令f′（x）＜0，求得單調減區(qū)間．
（3）先由f（1）=m+4，由題意得到函數f（x）的圖象在x∈(1+

2

m

，+∞)上和x軸沒有交點，在x∈(-∞，1+

2

m

)上單調遞減，與x軸有一個交點，從而證得：若m＜-4，函數y=f（x）的圖象與x軸只有一個交點．

解答：解：（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n因為x=1是函數f（x）的一個極值點，所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6
（2）由（I）知，f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+

2

m

)]
當m＜0時，有1＞1+

2

m

，當x變化時，f（x）與f′（x）的變化如下表：

x	(-∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

故有上表知，當m＜0時，f（x）在(-∞，1+

2

m

)單調遞減，在(1+

2

m

，1)單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
（3）證明：f（1）=m+4，當x＜-4時，f（1）＜0，
則函數f（x）的圖象在x∈(1+

2

m

，+∞)上和x軸沒有交點，在x∈(-∞，1+

2

m

)上單調遞減，
與x軸有一個交點，綜上所述，若m＜-4，函數y=f（x）的圖象與x軸只有一個交點．

點評：考查利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值問題，求函數的單調區(qū)間實質是解不等式，導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．屬中檔題．