Question

14．已知曲線$y=\frac{1}{x}$．
（1）求滿足斜率為$-\frac{1}{3}$的曲線的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)P（1，0）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用斜率為$-\frac{1}{3}$，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求滿足斜率為$-\frac{1}{3}$的曲線的切線方程；
（2）設(shè)過該點(diǎn)的切線切點(diǎn)為$B（b，\frac{1}）$，求導(dǎo)數(shù)，即可求曲線過點(diǎn)P（1，0）的切線方程．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為$A（a，\frac{1}{a}）$，
則切線斜率為$k=y'{|_{c=a}}=-\frac{1}{a^2}$，…（1分）
所以$-\frac{1}{a^2}=-\frac{1}{3}$，解得$a=±\sqrt{3}$，…（2分）
所以，切點(diǎn)坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$或$（-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，…（3分）
于是，切線方程為$y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{1}{3}（x-\sqrt{3}）$或$y+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{1}{3}（x+\sqrt{3}）$，
整理得，$x+3y-2\sqrt{3}=0$或$x+3y+2\sqrt{3}=0$．…（5分）
（2）顯然點(diǎn)P（1，0）不在曲線$y=\frac{1}{x}$上，…（6分）
則可設(shè)過該點(diǎn)的切線切點(diǎn)為$B（b，\frac{1}）$，
而斜率$k=y'{|_{k=b}}=-\frac{1}{b^2}$，…（7分）
于是，切線方程為$y-\frac{1}=-\frac{1}{b^2}（x-b）$，①…（8分）
將P（1，0）坐標(biāo)代入方程①得$-\frac{1}=-\frac{1}{b^2}（1-b）$，解得$b=\frac{1}{2}$，…（9分）
把$b=\frac{1}{2}$代入方程①，并整理得切線方程為4x+y-4=0．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．