Question

【題目】如圖在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，AB=3BE=3，CD=2，AD=2.將△ADE沿DE折起，使平面ADE⊥平面BCDE.

(1)證明：BC⊥平面ACD；

(2)求直線AE與平面ABC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）在直角梯形ABCD中，由平面幾何知識可證，從而由面面垂直性質(zhì)定理得線面垂直，可得線線垂直，于是可證線面垂直；

（2）以D為原點(diǎn)，過D作CB的平行線為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法示得線面角的正弦值．

(1)證明：在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，

AB=3BE=3，CD=2，AD=2.

∴，，

在直角梯形中可得，

∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，

∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE.

∴AD⊥平面BCDE，∵CB平面BCDE，∴AD⊥BC，

∵AB⊥BC，∴CD⊥BC，

又CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD.

(2)解：以D為原點(diǎn)，過D作CB的平行線為x軸，DC為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A(0，0，2)，E(，，0)，B(，2，0)，C(0，2，0)，

(，﹣2)，(0，﹣2，2)，(，0，0)，

設(shè)平面ABC的法向量(x，y，z)，

則，取y=1，則(0，1，)，

設(shè)直線AE與平面ABC所成角為θ，

則直線AE與平面ABC所成角的正弦值為sinθ.