【題目】已知函數(shù),.
(1)若,,求實數(shù)的值.
(2)若,,求正實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)0(2)
【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.
(2)解法一:令,利用導數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導數(shù)得到的單調(diào)性,分類討論,即可求解.
解法二:可利用導數(shù),先證明不等式,,,,
令(),利用導數(shù),分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.
(1)由題意,得,,
由,…①,得,
令,則,
因為,所以在單調(diào)遞增,
又,所以當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減;
所以,當且僅當時等號成立.
故方程①有且僅有唯一解,實數(shù)的值為0.
(2)解法一:令(),
則,
所以當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減;
故
.
令(),
則.
(i)若時,,在單調(diào)遞增,
所以,滿足題意.
(ii)若時,,滿足題意.
(iii)若時,,在單調(diào)遞減,
所以.不滿足題意.
綜上述:.
解法二:先證明不等式,,,…(*).
令,
則當時,,單調(diào)遞增,
當時,,單調(diào)遞減,
所以,即.
變形得,,所以時,,
所以當時,.
又由上式得,當時,,,.
因此不等式(*)均成立.
令(),
則,
(i)若時,當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減;
故
.
(ii)若時,,在單調(diào)遞增,
所以 .
因此,①當時,此時,,,
則需
由(*)知,,(當且僅當時等號成立),所以.
②當時,此時,,
則當時,
(由(*)知);
當時,(由(*)知).故對于任意,.
綜上述:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心為(1,1),直線與圓C相切.
(1)求圓C的標準方程;
(2)若直線過點(2,3),且被圓C所截得的弦長為2,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】不重合的兩條直線,和不重合的兩個平面,,下面的幾個命題:①若,且,則;②若,與平面成等角,則;③若,,且,則;④若,,則;⑤若,異面,且,均與平面和平行,則.在這5個命題中,真命題的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且,點M是SD的中點.請用空間向量的知識解答下列問題:
(1)求證:;
(2)求平面SAB與平面SCD夾角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年,依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負載力,短視頻快速崛起;與此同時,移動閱讀方興未艾,從側(cè)面反應了人們對精神富足的一種追求,在習慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后,部分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學底蘊的嚴肅閱讀青睞有加.
某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長(單位:分鐘),繪制成頻率分布直方圖如下,其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”.
(1)請?zhí)顚懸韵?/span>列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)?
活躍用戶 | 不活躍用戶 | 合計 | |
城市M | |||
城市N | |||
合計 |
(2)以頻率估計概率,從城市M中任選2名用戶,從城市N中任選1名用戶,設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
(3)該讀書APP還統(tǒng)計了2018年4個季度的用戶使用時長y(單位:百萬小時),發(fā)現(xiàn)y與季度()線性相關(guān),得到回歸直線為,已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時,試以此回歸方程估計2019年第一季度()該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時.
附:,其中.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,為的中點.
(I)若為上的一點,且與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)在(I)的條件下,設(shè)異面直線與所成的角為45°,求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知AB為圓O的直徑,且,點D為線段AO的中點,點C為圓O上的一點,且,平面ABC,.
(1)求證:平面PAB.
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在直角梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB=3BE=3,CD=2,AD=2.將△ADE沿DE折起,使平面ADE⊥平面BCDE.
(1)證明:BC⊥平面ACD;
(2)求直線AE與平面ABC所成角的正弦值.
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