Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=5，橢圓C的直角坐標(biāo)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，點(diǎn)P與O、A兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形（O，P，A為逆時針方向）且頂角∠OPA=120°．
（1）求點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程；
（2）求|PB|的最小值及取最小值時B的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)P（ρ，θ），則A(

3

ρ，θ+

π

6

)，代入直線即可得出

3

ρcos(θ+

π

6

)=5，展開利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)B(2cosα，

3

sinα)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得|PB|≥

|6cosα-3sinα-10|

2 3

=

|3 5 cos(α+φ)-10|

2 3

，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)P（ρ，θ），則A(

3

ρ，θ+

π

6

)．
∴

3

ρcos(θ+

π

6

)=5，即為點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程．
化為直角坐標(biāo)方程為3x-

3

y-10=0．
（2）設(shè)B(2cosα，

3

sinα)，
則|PB|≥

|6cosα-3sinα-10|

2 3

=

|3 5 cos(α+φ)-10|

2 3

≥

10-3 5

2 3

=

10 3 -3 15

6

．
其中φ=arctan

1

2

．取等號時，cos（α+φ）=1，此時cosα=cosφ=

2

5

，sinα=-sinφ=-

1

5

．
∴B(

4 5

5

，-

15

5

)．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和差的余弦公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．