Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，長軸長為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx-

1

2

交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在y軸正半軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M滿足

MA

⊥

MB

，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出e=

c

a

=

6

3

，2a=2

3

，由此能求出橢圓的方程．
（II）法一：當(dāng)k=0時(shí)，推導(dǎo)出

PA

•

PB

=0，從而得到P（0，1）滿足條件，若所求的定點(diǎn)M存在，則一定是P點(diǎn)，然后證明M（0，1）就是滿足條件的定點(diǎn)．
（Ⅱ）法二：設(shè)y軸上一點(diǎn)M（0，t），滿足

MA

•

MB

=0，設(shè)直線y=kx-

1

2

交橢圓于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立方程

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

，得（12k²+4）x²-12kx-9=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在點(diǎn)M（0，1）滿足

MA

⊥

MB

．

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，長軸長為2

3

，
∴e=

c

a

=

6

3

，2a=2

3

…（2分）
解得a=

3

，b=1…（3分）
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（II）解法一：當(dāng)k=0時(shí)，直線y=-

1

2

與橢圓交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(

3

2

，-

1

2

)，B(-

3

2

，-

1

2

)
設(shè)y軸上一點(diǎn)P（0，t），滿足

PA

⊥

PB

，即

PA

•

PB

=0，
∴(

3

2

，-

1

2

-t)•(-

3

2

，-

1

2

-t)=0，
解得t=1或t=-2（舍），
則可知P（0，1）滿足條件，
若所求的定點(diǎn)M存在，則一定是P點(diǎn)．…（6分）
下面證明M（0，1）就是滿足條件的定點(diǎn)．
設(shè)直線y=kx-

1

2

交橢圓于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意聯(lián)立方程

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

，
消去y得：（12k²+4）x²-12kx-9=0…（8分）
由韋達(dá)定理得，

x1+x2= 12k 12k2+4 x1x2= -9 12k2+4

，…（9分）
又∵

MA

=（x₁，y₁-1），

MB

=（x₂，y₂-1），
∴

MA

•

MB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

3

2

)(kx2-

3

2

)
=(1+k2)x1x2-

3

2

k(x1+x2)+

9

4

=(1+k2)•

-9

12k2+4

-

3

2

k•

12k

12k2+4

+

9

4

=0…（11分）
∴

MA

⊥

MB

，即在y軸正半軸上存在定點(diǎn)M（0，1）滿足條件．…（12分）
（Ⅱ）解法二：設(shè)y軸上一點(diǎn)M（0，t），滿足

MA

⊥

MB

，即

MA

•

MB

=0…（5分）
設(shè)直線y=kx-

1

2

交橢圓于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意聯(lián)立方程

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

，
消去y得：（12k²+4）x²-12kx-9=0…（7分）
由韋達(dá)定理得，

x1+x2= 12k 12k2+4 x1x2= -9 12k2+4

…（8分）
∵

MA

=（x₁，y₁-t），

MB

=（x₂，y₂-t），
∴

MA

•

MB

=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+(kx1-

1

2

-t)(kx2-

1

2

-t)
=(1+k2)x1x2-(

1

2

+t)k(x1+x2)+(

1

2

+t)2
=(1+k2)•

-9

12k2+4

-(

1

2

+t)k•

12k

12k2+4

+(

1

2

+t)2=0…（10分）
整理得，k2[12(

1

2

+t)2-12(

1

2

+t)-9]-9+4(

1

2

+t)2=0
由對(duì)任意k都成立，得12(

1

2

+t)2-12(

1

2

+t)-9=0
且 -9+4(

1

2

+t)2=0
解得t=1…（11分）
∴存在點(diǎn)M（0，1）滿足

MA

⊥

MB

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查是否存在定點(diǎn)使得向量垂直，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量數(shù)量積的合理運(yùn)用．