已知函數(shù)f(x)=cos(
π
3
+x)cos(
π
3
-x)+
3
sinxcosx+
1
4

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)若f(θ+
π
12
)
=
1
3
,θ∈(
π
4
,
π
2
)
,求sin2θ的值.
考點:三角函數(shù)的周期性及其求法,二倍角的正弦
專題:三角函數(shù)的求值
分析:(Ⅰ)利用三角恒等變換可求得f(x)=sin(2x+
π
6
),從而可求得函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)依題意知,sin(2θ+
π
3
)=
1
3
,利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可求得cos(2θ+
π
3
)=-
2
2
3
,利用兩角差的正弦即可求得sin2θ的值.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)=(cos
π
3
cosx-sin
π
3
sinx)(cos
π
3
cosx+sin
π
3
sinx)+
3
2
sin2x+
1
4

=
1
4
cos2x-
3
4
sin2x+
3
2
sin2x+
1
4

=
1
2
cos2x+
3
2
sin2x
=sin(2x+
π
6
),
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=
2
=π,最大值為1;
(Ⅱ)f(θ+
π
12
)=
1
3
,即sin(2θ+
π
3
)=
1
3
,
∵θ∈(
π
4
π
2
)
,2θ+
π
3
∈(
6
3
),
∴cos(2θ+
π
3
)=-
1-(
1
3
)
2
=-
2
2
3

∴sin2θ=sin(2θ+
π
3
-
π
3

=sin(2θ+
π
3
)cos
π
3
-cos(2θ+
π
3
)sin
π
3

=
1
3
×
1
2
-(-
2
2
3
)×
3
2

=
1+2
6
6
點評:本題考查三角恒等變換應(yīng)用,著重考查三角函數(shù)的周期性、最值及其求法,考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式與兩角差的正弦的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知x,y滿足約束條件
x-y≤0
x+y-1≥0
x-2y+2≥0
,則z=x+
1
2
y的最小值為(  )
A、
1
2
B、
3
4
C、1
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖是某市2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇2月1日至2月12日中的某一天到達該市,并停留3天.
(1)求此人到達當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率;
(2)設(shè)ξ是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù),求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ax2+2bx+c,若5a+4b+c=0,f(-1)•f(1)<0,數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n).
(1)求證:方程f(x)=0必有兩個不等實根x1、x2,且
4
3
<x1+x2<4;
(2)若c=0,an>0,且互不相等正整數(shù)p,q,n,使得p+q=2n,求證:SpSq<Sn2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲乙二人比賽投籃,每人連續(xù)投3次,投中次數(shù)多者獲勝.若甲前2次每次投中的概率都是
1
3
,第3次投中的概率
1
2
;乙每次投中的概率都是
2
5
,甲乙每次投中與否相互獨立.
(Ⅰ)求乙直到第3次才投中的概率;
(Ⅱ)在比賽前,從勝負的角度考慮,你支持誰?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2px(p>0),M點的坐標(biāo)為(12,8),N點在拋物線C上,且滿足
ON
=
3
4
OM
,O為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過點M作傾斜角互補的兩條直線l1,l2,l1與拋物線C交于不同兩點A,B,l2與拋物線C交于不同兩點D,E,弦AB,DE的中點分別為G,H.求當(dāng)直線l1的傾斜角在[
π
6
,
π
4
]時,直線GH被拋物線截得的弦長的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,長軸長為2
3

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線y=kx-
1
2
交橢圓C于A、B兩點,試問:在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足
MA
MB
,若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位:μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,就代表空氣污染越嚴重:
PM2.5日均濃度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250
空氣質(zhì)量級別 一級 二級 三級 四級 五級 六級
空氣質(zhì)量類別 優(yōu) 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴重污染
某市2013年12月1日-12月30日(30天)對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進行監(jiān)測,獲得數(shù)據(jù)后得到如圖條形圖.
(1)估計該城市一個月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)的概率;
(2)從空氣質(zhì)量級別為三級和四級的數(shù)據(jù)中任取2個,求恰好有一天空氣質(zhì)量類別為中度污染的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知i為虛數(shù)單位,計算(1+2i)(1-i)2=
 

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