Question

【題目】已知拋物線y=﹣ +bx+c與y軸交于點C，與x軸的兩個交點分別為A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標；
（3）已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的解析式為y=﹣ （x+4）（x﹣1），即y=﹣ x2﹣ x+2；

（2）

解：存在．

當x=0，y═﹣ x2﹣ x+2=2，則C（0，2），

∴OC=2，

∵A（﹣4，0），B（1，0），

∴OA=4，OB=1，AB=5，

當∠PCB=90°時，

∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∴當點P與點A重合時，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時P點坐標為（﹣4，0）；

當∠PBC=90°時，PB∥AC，如圖1，

設直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（﹣4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y= x+2，

∵BP∥AC，

∴直線BP的解析式為y= x+p，

把B（1，0）代入得 +p=0，解得p=﹣ ，

∴直線BP的解析式為y= x﹣ ，

解方程組 得 或 ，此時P點坐標為（﹣5，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）

解：存在點E，設點E坐標為（m，0），F(xiàn)（n，﹣ n2﹣ n+2）

①當AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時E1坐標（﹣7，0），

②當AC為邊時，AC∥EF，易知點F縱坐標為﹣2，

∴﹣ n2﹣ n+2=﹣2，解得n= ，得到F2（ ，﹣2），F(xiàn)3（ ，﹣2），

根據(jù)中點坐標公式得到： = 或 = ，

解得m= 或 ，

此時E2（ ，0），E3（ ，0），

③當AC為對角線時，AE4=CF1=3，此時E4（﹣1，0），

綜上所述滿足條件的點E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（ ，﹣2）或（ ，﹣2）．

【解析】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、中點坐標公式等知識，解題的關鍵是構建一次函數(shù)利用方程組解決點P坐標，學會分類討論，學會用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．
（1）因為拋物線經(jīng)過點A（﹣4，0），B（1，0），所以可以設拋物線為y=﹣ （x+4）（x﹣1），展開即可解決問題；
（2）先證明∠ACB=90°，點A就是所求的點P，求出直線AC解析式，再求出過點B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問題；
（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對角線兩種切線討論即可解決問題．