【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓： （）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)動點， 在橢圓上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）雙曲線的焦點為，離心率為，對于橢圓來說， ，由此求得和橢圓的方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式求得的一個不等關(guān)系，利用韋達定理和弦長公式，求得一個等量關(guān)系，利用表示，進而用基本不等式求得的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）雙曲線的焦點坐標為，離心率為.

因為雙曲線的焦點是橢圓： （）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以，且，解得.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）因為，所以直線的斜率存在.

因為直線在軸上的截距為，所以可設(shè)直線的方程為.

代入橢圓方程得 .

因為 ，

所以.

設(shè)， ，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得， .

則 .

因為，即 .

整理得.

令，則.

所以 .

等號成立的條件是，此時， 滿足，符合題意.

故的最大值為.

練習冊系列答案
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（3）如圖3，若點O在正方形的內(nèi)部（含邊界），當OM=ON時，請?zhí)骄奎cO在移動過程中可形成什么圖形？
（4）如圖4，是點O在正方形外部的一種情況．當OM=ON時，請你就“點O的位置在各種情況下（含外部）移動所形成的圖形”提出一個正確的結(jié)論．（不必說明）

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