【題目】已知M是正四面體ABCD棱AB的中點,N是棱CD上異于端點C,D的任一點,則下列結(jié)論中,正確的個數(shù)有( 。
(1)MN⊥AB;
(2)若N為中點,則MN與AD所成角為60°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;
(4)不存在點N,使得過MN的平面與AC垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4

【答案】C
【解析】解:(1)連結(jié)MC,MD,由三角形三線合一可得AB⊥CM,AB⊥DM,∴AB⊥平面MCD,
∵MN平面MCD,∴AB⊥MN,故(1)正確;
(2)取BD中點E,連結(jié)ME,NE,則∠NME為MN與AD所成角,
連結(jié)BN,由(1)知BM⊥MN,設(shè)正四面體棱長為1,則BM= , BN= , ∴MN= ,
ME=NE= , ∴cos∠NME== , ∴∠NME=45°,故(2)不正確;
(3)由(1)知AB⊥平面CDM,∵AB平面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN,故(3)正確;
(4)取BC早點F,連結(jié)MF,DF,假設(shè)存在點N,使得過MN的平面與AC垂直,
∴AC⊥MN,∵MF∥AC,∴MF⊥MN,
∵DF=DM= , ∴∠FMD<90°,同理,∠CMF<90°.
當(dāng)N從D向C移動時,∠FMN先減小,后增大,故∠FMN<90°,與MF⊥MN矛盾.
∴不存在點N,使得過MN的平面與AC垂直,故(4)正確.
故選:C.

【考點精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定,需要了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“累積凈化量”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標(biāo),它是指空氣凈化從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量,以克表示,根據(jù)《空氣凈化器》國家標(biāo)準(zhǔn),對空氣凈化器的累計凈化量有如下等級劃分:

累積凈化量(克)

12以上

等級

為了了解一批空氣凈化器(共5000臺)的質(zhì)量,隨機抽取臺機器作為樣本進行估計,已知這臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間中,按照、、均勻分組,其中累積凈化量在的所有數(shù)據(jù)有:4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9,并繪制了頻率分布直方圖,如圖所示:

(1)求的值及頻率分布直方圖中的值;

(2)以樣本估計總體,試估計這批空氣凈化器(共5000臺)中等級為的空氣凈化器有多少臺?

(3)從累積凈化量在的樣本中隨機抽取2臺,求恰好有1臺等級為的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△OAB的頂點坐標(biāo)為O(0,0),A(2,9),B(6,﹣3),點P的橫坐標(biāo)為14,且 ,點Q是邊AB上一點,且 =0.
(1)求實數(shù)λ的值與點P的坐標(biāo);
(2)求點Q的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱柱中,底面是正方形,側(cè)棱底面, 的中點.

)求證: 平面

)求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)>0時,求函數(shù)的極值點;

(2)證明:當(dāng)時, 恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°.側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,則下列說法錯誤的是( 。

A.在棱AD上存在點M,使AD⊥平面PMB
B.異面直線AD與PB所成的角為90°
C.二面角P﹣BC﹣A的大小為45°
D.BD⊥平面PAC

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一點,△AEC面積的最小值是3.
(Ⅰ)求證:AC⊥DE;
(Ⅱ)求四棱錐P﹣ABCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是將一正方體貨物沿坡面AB裝進汽車貨廂的平面示意圖.已知長方體貨廂的高度BC為 米,tanA= ,現(xiàn)把圖中的貨物繼續(xù)往前平移,當(dāng)貨物頂點D與C重合時,仍可把貨物放平裝進貨廂,求BD的長.(結(jié)果保留根號)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線y=﹣ +bx+c與y軸交于點C,與x軸的兩個交點分別為A(﹣4,0),B(1,0).

(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點P在拋物線上,連接PC,PB,若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,求點P的坐標(biāo);
(3)已知點E在x軸上,點F在拋物線上,是否存在以A,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案