【題目】如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點D在AB上．
（1）若D是AB中點，求證：AC1∥平面B1CD；
（2）當 = 時，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．

【答案】
（1）證明：連接BC1，交B1C于E，連接DE．

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，D是AB中點

∴側面BB1C1C為矩形，DE為△ABC1的中位線

∴DE∥AC1，

又∵DE平面B1CD，AC1平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD．


（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2

∴AC⊥BC，所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C﹣xyz．

則B （3，0，0），A （0，4，0），

A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）．

設D （a，b，0）（a＞0，b＞0），

∵點D在線段AB上，且 = ，即 =

∴a= ，b=

∴ =（﹣3，0，﹣4）， =（ ， ，0）

顯然 =（0，0，4）是平面BCD的一個法向量

設平面B1CD的法向量為 =（x，y，z），那么

由 =0， =0，得 ，

令x=1，得 =（1，﹣3，﹣ ）

∴cos = = =﹣

又二面角B﹣CD﹣B1是銳角，故其余項值為


【解析】（1）通過作平行線，由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，求得兩平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù) ，我們把使 的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點，且有如下零

點存在定理：如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點．給出下列命題：

①若函數(shù) 在 上是單調(diào)函數(shù)，則 在 上有且僅有一個零點；

②函數(shù) 有 個零點；

③函數(shù) 和 的圖像的交點有且只有一個；

④設函數(shù) 對 都滿足 ，且函數(shù) 恰有 個不同的零點，則這6個零點的和為18；

其中所有正確命題的序號為________．(把所有正確命題的序號都填上)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題： 1）y=|cos（2x+ ）|最小正周期為π；
2）函數(shù)y=tan 的圖象的對稱中心是（kπ，0），k∈Z；
3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣ ， ）上有3個零點；
4）若 ∥ ， ，則
其中錯誤的是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣x2+x．
（1）求函數(shù)f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對定義域分別為D1 ， D2的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）= ，f（x）=x﹣2（x≥1），g（x）=﹣2x+3（x≤2），則h（x）的單調(diào)減區(qū)間是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知全集U=R，函數(shù)y= + 的定義域為A，函數(shù)y= 的定義域為B．
（1）求集合A、B．
（2）（UA）∪（UB）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）已知f（x）是偶函數(shù)，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的極值
（2）若x∈[﹣1，+∞），求函數(shù)f（x）的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求當時， 恒成立的的取值范圍，并證明

.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案