Question

已知曲線C：x²=4y．
（1）若點P是直線y=2x-5上任意一點，過P作C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F，M為EF的中點，求證：PM⊥x軸
（2）在（1）的條件下，直線EF是否恒過一定點？若是，求出定點；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）對函數求導，設切點坐標，得切線方程．設P（x₀，2x₀-5）代入兩條切線方程，由韋達定理求得M坐標得證；
（2）求出切線PE，PF的方程，可得E，F在直線2x0-5=

x

2

x0-y上，即可得出結論．

解答： （1）證明：設M（x，y），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵y′=

x2

2

∴KPE=

x 2 1

2

，KPF=

x 2 2

2

，
∴切線PE的方程為y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

…．（2分）
同理，切線PF的方程為y=

x2

2

x-

x 2 2

4

設P（x₀，2x₀-5）代入兩條切線方程中，
得x1，x2為方程x2-2x0x+8x0-20=0的兩個根…（4分）
∴x₁+x₂=2x₀，x=x₀，M，P兩點的橫坐標都是x₀
則PM⊥x軸…．（6分）
（2）∵y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

，
∴切線PE的方程為y=

x1

2

x-y1，切線PF的方程為y=

x2

2

x-y2…．（8分）
∴E，F在直線2x0-5=

x

2

x0-y上，…（10分）
即（x-4）x₀-2y+10=0恒過點（4，5）…（12分）

點評：本題主要考查導數法求切線方程以及直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．．