Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2

2

，且過點(diǎn)（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線MF與NF關(guān)于x軸對(duì)稱．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2

2

，且過點(diǎn)（1，

2

2

），求出a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（k≠0）代入橢圓C，利用韋達(dá)定理，結(jié)合k_MA+k_NA=0，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意可得

2a=2 2 1 a2 + 1 2b2 =1

，解得a=

2

，b=1． 
故橢圓C的方程為

x2

2

+y²=1． …5分
（Ⅱ）證明：橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），
由

y=kx+m x2+2y2=2

  消y，并整理得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則有△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）＞0，
且x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

因?yàn)橹本�MA與NA 關(guān)于 x軸對(duì)稱，所以這兩條直線的斜率互為相反數(shù)，
則有k_MA+k_NA=0，即

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，
則有2kx₁x₂+（m-k）（x₁₊x₂）-2m=0，…11分
所以2k•

2m2-2

2k2+1

-（m-k）•

4km

2k2+1

-2m=0，
整理得m=-2k，…13分
此時(shí)k滿足-

2

2

＜k＜

2

2

且k≠0，直線l的方程是y=k（x-2），
故直線l過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（2，0）． …14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是高考試卷中的壓軸題．