Question

設(shè)f（x）=x-ln（x+1）
（1）求f（x）的最小值．
（2）求證：

3

2

+1+

7

10

+…+

2n+1

n2+1

≥ln（

n2

2

+n+1）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可求f（x）的最小值．
（2）證明x≥ln（x+1），令x=

2n+1

n2+1

=

(1+n)2+1

n2+1

得

2n+1

n2+1

≥ln[（n+1）²+1]-ln（n²+1），n取1，2，3，…，再相加可得結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=x-ln（x+1），
∴f′（x）=

x

x+1

（x＞-1），
由f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，f′（x）＞0，可得x＞0，
∴函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=0時(shí)，f（x）的最小值為0．
（2）證明：由（1）知，x-ln（x+1）≥0，即x≥ln（x+1）．
令x=

2n+1

n2+1

=

(1+n)2+1

n2+1

得

2n+1

n2+1

≥ln[（n+1）²+1]-ln（n²+1）
n取1，2，3，…，再相加可得

3

2

+1+

7

10

+…+

2n+1

n2+1

≥ln（

n2

2

+n+1）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．