Question

某廣告公司設(shè)計(jì)一個(gè)凸八邊形的商標(biāo)，它的中間是一個(gè)正方形，外面是四個(gè)腰長(zhǎng)為1，頂角為2α的等腰三角形．
（Ⅰ）若角2α=

2π

3

時(shí)，求該八邊形的面積；
（Ⅱ）寫出α的取值范圍，當(dāng)α取何值時(shí)該八邊形的面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,解題方法

分析：（1）根據(jù)正弦定理可先求出4個(gè)三角形的面積，再由余弦定理可求出正方形的邊長(zhǎng)進(jìn)而得到面積，最后得到答案．
（2）利用三角函數(shù)把2sin2α-2cos2α=

2

(

2

2

sin2α-

2

2

cos2α)=

2

(cos

π

4

sin2α-sin

π

4

cos2α)=

2

sin(2α-

π

4

)，在利用2α的范圍求出（2α-

π

4

）的范圍，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理可得4個(gè)等腰三角形的面積和為：4×

1

2

×1×1×sinα=2sin2α，
由余弦定理可得正方形邊長(zhǎng)為：

12+12-2×1×1×cos2α

=

2-co2α

 ，
故正方形面積為：2-2cos2α，
所以所求八邊形的面積為：2sin2α-2cos2α+2，
當(dāng)2α=

2π

3

時(shí)，
所以所求八邊形的面積為：2sin

2

3

π-2cos

2

3

π+2=3+

3

．
（Ⅱ）設(shè)八邊形的面積為S，由（Ⅰ）所求八邊形的面積為：S=2sin2α-2cos2α+2=2+2

2

sin(2α-

π

4

)，
顯然0＜2α＜π，所以0＜α＜

π

2

，  ∴-

π

4

＜2α-

π

4

＜

3

4

π，
故-

2

2

＜sin(2α-

π

4

)≤1
∴Smax=2+2

2

，
此時(shí)α=

3

8

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角面積公式的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用，正、余弦定理是考查解三角形的重點(diǎn)，是必考內(nèi)容．