Question

某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊淘寶項目每月要投入一定的營銷費用，已知每投入營銷費用k萬元，每月銷售收入大概增加-k²+5k+1萬元．（利潤=增加的銷售收入-投入）
（Ⅰ）若該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊將本月的營銷費用控制在3萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少營銷費用才能使該項目本月利潤最大．
（Ⅱ）現(xiàn)該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊本月準(zhǔn)備投入3萬元，分別用于營銷費用和產(chǎn)品研發(fā)升級，經(jīng)預(yù)測，產(chǎn)品研發(fā)升級費用每投入x萬元增加的銷售收入大概為-

1

3

x³+x²+3x萬元，如何分配該筆資金，使該項目本月利潤最大．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，建立利潤函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)本月利潤為y萬元，則y=-k²+5k+1-k（0≤k≤3）=-k²+4k+1=-（k-2）²+5，
則當(dāng)k=2時，y_max=5，因此投入營銷費用2萬元時本月利潤最大．
（II）設(shè)本月利潤為y萬元，產(chǎn)品研發(fā)升級費用每投入x萬元（0≤x≤3）
所以y=-

1

3

x3+x2+3x+[-(3-x)2+5(3-x)+1]-3=-

1

3

x3+4x+4（0≤x≤3），
y′=-x²+4，令y′=0，則x=2（舍去負(fù)值），
當(dāng)2＜x＜3時，y′＜0，當(dāng)0＜x＜2時，y′＞0，
因此x=2時函數(shù)取得極大值y=

28

3

，
故x=2時函數(shù)在[0，3]取得最大值，
因此，當(dāng)投入2萬元用于產(chǎn)品研發(fā)升級，1萬元用于營銷費用，本月利潤最大．

點評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，求函數(shù)的最值常見的方法是利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．