Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為

x=acosθ y=bsinθ

（φ為參數(shù)，a＞b＞0）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m（m為非零常數(shù)）與ρ=b．若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：先根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系將直線l的極坐標(biāo)方程分別為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m（m為非零常數(shù)）化成直角坐標(biāo)方程，再利用直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，從而得到c=

2

b，又b²=a²-c²，消去b后得到關(guān)于a，c的等式，即可求出橢圓C的離心率．

解答： 解：直線l的極坐標(biāo)方程分別為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m（m為非零常數(shù)）化成直角坐標(biāo)方程為x+y-m=0，
它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），由題意知，（m，0）為橢圓的焦點(diǎn)，故|m|=c，
又直線l與圓O：ρ=b相切，∴

|-m|

2

=b，
從而c=

2

b，又b²=a²-c²，
∴c²=2（a²-c²），
∴3c²=2a²，∴

c

a

=

6

3

．
則橢圓C的離心率為

6

3

．
故答案為：

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的離心率，考查了參數(shù)方程化成普通方程，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查提高學(xué)生分析問題的能力．