Question

設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時，有x²∈S．給出如下命題：
①若m=1，則S={1}；
②若m=-

1

2

，則

1

4

≤l≤1；
③若l=

1

2

，則-

2

2

≤m≤0；
④若-

1

2

≤m≤0，則0≤l≤4．
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：根據(jù)題中條件：“當(dāng)x∈S時，有x²∈S”對三個命題一一進行驗證即可：對于①m=1，得

l2≤l l≥1

，②m=-

1

2

，則

l2≤l 1 4 ≥l

對于③若l=

1

2

，則

1 2 ≥m 1 2 ≥m2

，最后解出不等式，根據(jù)解出的結(jié)果與四個命題的結(jié)論對照，即可得出正確結(jié)果有幾個．

解答： 解：由定義設(shè)非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：
當(dāng)x∈S時，有x²∈S知，符合定義的參數(shù)m的值一定大于等于1或小于等于0，
惟如此才能保證m∈S時，有m²∈S即m²≥m，
符合條件的l的值一定大于等于0，小于等于1，
惟如此才能保證l∈S時，有l(wèi)²∈S即l²≤l，正對各個命題進行判斷：
對于①m=1，m²=1∈S故必有

l2≤l l≥1

，
可得l=1，S={1}，
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S則

l2≤l 1 4 ≥l

，
解之可：

1

4

≤l≤1；
對于③若l=

1

2

，則

1 2 ≥m 1 2 ≥m2

，
解之可得-

2

2

≤m≤0，
由符合條件的l的值一定大于等于0，小于等于1，可知④錯誤，
故正確命題的序號為：①②③．
故答案為：①②③

點評：本小題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創(chuàng)新題，解答的關(guān)鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問題解決．