Question

已知命題p：“函數(shù)f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上單調(diào)遞減”，命題q：“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立”，若命題“p且q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：本題的關(guān)鍵是給出命題p：“函數(shù)f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上單調(diào)遞減”，命題q：“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立”，為真時(shí)a的取值范圍

解答： 解：∵命題p：“函數(shù)f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上單調(diào)遞減
∴若p為真，那么當(dāng)a＞0時(shí)，只需對(duì)稱軸x=-

-4

2a

=

2

a

在區(qū)間（-∞，2]的右側(cè)，
即 

2

a

≥2
∴0＜a≤1
又∵命題q：“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立
∴若q為真，那么命題等價(jià)于：方程16x²-16（a-1）x+1=0無實(shí)根．
∴△=[16（a-1）]²-4×16＜0
∴

1

2

＜a＜

3

2

∵命題“p且q”為真命題
∴p真，q真
∴

0＜a≤1 1 2 ＜a＜ 3 2

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍：

1

2

＜a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．