Question

已知向量

a

=（2cos²x，

3

），

b

=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f（C）=1，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求邊a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式，利用角的范圍求出相位的范圍，然后求解函數(shù)的最小值，即可；
（2）先確定C，在利用余弦定理、ab=2

3

，即可求解邊a，b的值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（2cos²x，

3

），

b

=（1，sin2x），
函數(shù)f（x）=

a

•

b

-2=2cos²x+

3

sin2x-2=cos2x+1+

3

sin2x-2=2sin（2x+

π

6

）-1，
x∈[-

π

6

，

π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
∴2sin（2x+

π

6

）-1∈[-2，1]．
∴函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最小值：-2．
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）-1=1，∴sin（2C+

π

6

）=1
∵C是△ABC的內(nèi)角，
∴2C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

6

由c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²=7，
ab=2

3

∵a＞b，
∴a=2，b=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積公式、二倍角、輔助角公式，考查余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．