Question

2．在△ABC中，A為銳角，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{5A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{A}{2}$，-sin$\frac{5A}{2}$），且|$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$．
（1）求角A的大��；
（2）若a=2，求-$\sqrt{3}$b+c的取值范圍；
（3）若a=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值，并求出當(dāng)面積S_△ABC取到最大值時b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合同角的平方關(guān)系和兩角和的余弦公式，化簡即可得到角A；
（2）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合兩角和差公式，再由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍；
（3）由余弦定理和基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式，計算即可得到最大值及b，c的值．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，可得
（$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$）²=2，
即為$\overrightarrow{m}$²+$\overrightarrow{n}$²-2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2，
即有cos²$\frac{5A}{2}$+sin²$\frac{A}{2}$+cos²$\frac{A}{2}$+sin²$\frac{5A}{2}$-2（cos$\frac{5A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{5A}{2}$）=2，
即為1+1-2cos3A=2，即cos3A=0，
由A為銳角，則3A=$\frac{π}{2}$，
即有A=$\frac{π}{6}$；
（2）由正弦定理，可得
$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{6}}$=4，
即有b=4sinB，c=4sinC，
-$\sqrt{3}$b+c=4（sinC-$\sqrt{3}$sinB）=4[sin（$\frac{5π}{6}$-B）-$\sqrt{3}$sinB]
=4（$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB-$\sqrt{3}$sinB）
=4（（$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）=4cos（B+$\frac{π}{3}$），
0＜B＜$\frac{5π}{6}$，則B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$），
cos（B+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），
即有-$\sqrt{3}$b+c的取值范圍為[-4，2）；
（3）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-$\sqrt{3}$bc≥2bc-$\sqrt{3}$bc，
則bc≤4（2+$\sqrt{3}$），當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，取得等號．
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc≤2+$\sqrt{3}$．
即有b=c=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，S_△ABC的最大值為2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查三角函數(shù)的化簡和求值，同時考查正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，以及重要不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．