Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax在x=1處的切線的斜率為l．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的最大值；
（2）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）有函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax在x=1處的切線的斜率即是函數(shù)在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值求得a，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性求得最值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x，求出g（x）的最大值為0，得出x≥ln（x+1），再令x=

1

k

(k∈N*)，利用累加法得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）

∴f′(x)= 1 1+x -a ∴f′(1)= 1 1+1 -a=1

∴a=-

1

2

…（2分）∴f(x)=ln(x+1)+

1

2

x∴f′(x)=

x+3

2(1+x)

＞0
∴f（x）在（-1，+∞）是單調(diào)遞增∴f（x）的最大值不存在                           …（6分）
（2）由（1）令g（x）=ln（x+1）-x，則g′(x)=-

x

1+x

，g_max（x）=g_極大（x）=g（0）=0，
∴x≥ln（x+1），當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立
令x=

1

k

(k∈N*)
則x＞0∴

1

k

＞ln(1+

1

k

)=ln

1+k

k

=ln(1+k)-lnk

∴1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 k ＞(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[ln(n+1)-lnn] =ln(n+1)

-------------------------------------------------------------------------…（12分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．