Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=-

a

x

（a＞0），設(shè)F（x）=f（x）+g（x）
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）若以函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數(shù)a的最小值
（Ⅲ）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=g（

2a

x2+1

）+m-1的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同交點？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）先求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負即可求出其單調(diào)區(qū)間；
（II）先把問題轉(zhuǎn)化為F'（x₀）=

x0+a

x02

≤

1

2

恒成立；再結(jié)合二次函數(shù)即可求出結(jié)論；
（III）先根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為m=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

有四個不同的根；求出其導(dǎo)函數(shù)，找到其極值點，根據(jù)極值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（I）∵F（x）=f（x）+g（x）=lnx-

a

x

，
∴F'（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，（x＞0）；
∵x＞0，a＞0，
∴F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上遞增；
（II）∵F'（x）=

x+a

x2

，（0＜x≤3），
則k=F'（x₀）=

x0+a

x02

≤

1

2

恒成立；
即a≤

1

2

（x02-2x₀）在（0，3]上恒成立，
當x₀=1時，

1

2

（x02-2x₀）取到最小值-

1

2

，
∴a≤-

1

2

．
即a的最大值為-

1

2

．
（III）y=g（

2a

x2+1

）+m-1=-

1

2

x²+m-

3

2

的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）=ln（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點，
即，-

1

2

x²+m-

3

2

=ln（1+x²）有四個不同的根，亦即m=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

有四個不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）+

1

2

x²+

3

2

；
則G'（x）=

2x

1+x2

+x=

x(x+1)2

1+x2

；
∴x＞0時，G′（x）＞0，G（x）遞增，x＜0時，G′（x）＜0，G（x）遞減，
∴G（x）_min=G（0）=

3

2

＞0，
∴不存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=g（

2a

x2+1

）+m-1的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同交點．

點評：本題主要考察了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，以及恒成立問題的判斷．