Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意x、y∈R滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，f（x）＜0．
（1）請找出一個滿足條件的函數(shù)f（x）；
（2）猜想函數(shù)f（x）的奇偶性和單調性，并證明你的結論；
（3）若f（1）=-3，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)奇偶性和單調性在基本初等函數(shù)中尋找實例即可
（2）特值法，令x=x，y=-x即可獲得f（-x）與f（x）的關系，從而問題即可獲得求解；
（3）利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且為減函數(shù)，令x=y=1，繼而求得最值．

解答： 解：（1）f（x）=-2x；
（2）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
f（x）的定義域為R，關于數(shù)0對稱，
令x=x，y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）
則f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數(shù)．
當x＞0時，f（x）＜0．
∴f（-x）=-f（x）＞0，
∴f（-x）＞f（x）
∵-x＜x，
故f（x）為單調遞減函數(shù)．
（3）由f（x）為單調遞減函數(shù)．
∴f（-2）為最大值，f（2）為最小值．
令x=y=1，則f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=-6
又f（x）為奇函數(shù)．
∴f（-2）=-f（2）=6．
故f（x）在[-2，2]上的最大值為6，最小值為-6．

點評：本題考查的是函數(shù)的單調性及奇偶性等性質問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了特值的思想、做差的方法、做商的方法以及對基本初等函數(shù)的理解及應用．