Question

正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足：S_n²+2ⁿS_n-2²ⁿ⁺¹=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

2n-1

(Sn-1)(an-1)

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：對于任意的n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出Sn=2n，由此能求出an=

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（2）當n=1時，T₁=b₁=1＜2．當n≥2時，bn=

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

，由此利用裂項求和法能證明對于任意的n∈N^*，都有T_n＜2．

解答： （1）解：Sn2+2nSn-22n+1=0，
(Sn-2n)(Sn+2n+1)=0，解得Sn=2n
當n=1時，a₁=S₁=2．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
∵n=1不適合，
∴an=

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（2）證明：當n=1時，b1=

21-1

(S1-1)(a1-1)

=

1

(2-1)2

=1，T₁=b₁=1＜2．
當n≥2時，bn=

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

Tn=1+(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)=2-

1

2n-1

＜2
綜上，對于任意的n∈N^*，都有T_n＜2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．