Question

已知數(shù)列{a_n}得首項(xiàng)為a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

（n≥2）
（1）證明數(shù)列（

n+1

n

S_n）是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}得通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

an

4n2-4n+3

．記數(shù)列{b_n}得前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1+1

1

S1=2a₁=4，

n+1

n

S_n=

n+1

n

×

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

×

n+1

n

=

n

n-1

Sn-1+1，由此能證明數(shù)列{

n+1

n

S_n}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而S_n=

(4n-3)(n+1)

n

，進(jìn)而能求出a_n=

2，n=1 4n2-4n+3 n2-n ，n≥2

．
（2）n=1時(shí)，b₁=

2

4-4+3

=

2

3

，n≥2時(shí)，b_n=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜1．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}得首項(xiàng)為a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

（n≥2）
∴n=1時(shí)，

1+1

1

S1=2a₁=4，

n+1

n

S_n=

n+1

n

×

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

×

n+1

n

=

n

n-1

Sn-1+1，
∴

n+1

n

S_n-

n

n-1

Sn-1=1，
∴數(shù)列{

n+1

n

S_n}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

n

n+1

Sn=4+（n-1）×1=4n-3，
∴S_n=

(4n-3)(n+1)

n

，
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=

(4-3)(1+1)

1

=2，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

(4n-3)(n+1)

n

-

(4n-7)n

n-1

=

4n2-4n+3

n2-n

．
n=1時(shí)，不成立，∴a_n=

2，n=1 4n2-4n+3 n2-n ，n≥2

．
（2）證明：∵b_n=

an

4n2-4n+3

，∴n=1時(shí)，b₁=

2

4-4+3

=

2

3

，
n≥2時(shí)，b_n=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴n=1時(shí)，T₁=b₁=

2

3

＜1，
n≥2時(shí)，T_n=1-

1

2

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1，
綜上，T_n＜1．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．