Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）半焦距為c，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，若拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為

2 2

3

be²（e為雙曲線C的離心率），則e的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線：x=-c，它正好經(jīng)過(guò)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為：

2b2

a2

，可得

2b2

a2

=

2 2

3

be²，得出a和c的關(guān)系，從而求出離心率的值．

解答： 解：∵拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線：x=-c，它正好經(jīng)過(guò)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，
∴準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為：

2b2

a2

，
∴

2b2

a2

=

2 2

3

be²，
即：

2

c²=3ab，
∴2c⁴=9a²（c²-a²），
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e=

6

2

或

3

，
又過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，
∴e=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系．由圓錐曲線的方程求焦點(diǎn)、離心率、雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²注意雙曲線與橢圓的區(qū)別．