Question

已知等比數(shù)列a_n=

1

3n-1

，其前n項和為S_n=

n

k-1

a_k，則S_k+1與S_k的遞推關系不滿足（　　）

• A、S_k+1=S_k+

  1

  3k+1

• B、S_k+1=1+

  1

  3

  S_k
• C、S_k+1=S_k+a_k+1
• D、S_k+1=3S_k-3+a_k+a_k+1

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件，求出數(shù)列{a_n}的通項公式和前n項和公式，由此利用數(shù)列的性質(zhì)進行運算，能得到S_k+1與S_k的遞推關系．

解答： 解：∵等比數(shù)列a_n=

1

3n-1

=3^1-n，
∴a₁=1，a2=

1

3

，q=

1

3

，
∴S_n=

n

k=1

ak=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

（1-

1

3n

），
∴S_k+1=S_k+

1

3k

，故A不成立；
S_k+1=

3

2

（1-

1

3n

）=

3

2

-

3

2

×

1

3n

=1+

1

2

-

1

2

×

1

3n-1

=1+

1

2

(1-

1

3n-1

)=1+

1

3

Sk，故B成立；
由數(shù)列的前n項和的定義知：S_k+1=S_k+a_k+1，故C成立；
∵3S_k-3+a_k+a_k+1
=3×

3

2

(1-

1

3k-1

)-3+31-k+3-k
=

9

2

-

9

2

×

1

3n-1

-3+

1

3k-1

+

3

3k-1

=

3

2

-

1

2

×

1

3k-1

=

3

2

(1-

1

3k

)=S_k+1，故D成立．
故選A．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的應用，是中檔題，解題時要注意通項公式和前n項和間的等價轉化．