Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=90°．過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則

| MN |

| AB |

的最大值為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、1
• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|²=a²+b²，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的范圍，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，
由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得，|AB|²=a²+b²配方得，
|AB|²=（a+b）²-2ab，
又ab≤(

a+b

2

)2，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2(

a+b

2

)2，
得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
∴

| MN |

| AB |

≤

1 2 (a+b)

2 2 (a+b)

=

2

2

，即

| MN |

| AB |

的最大值為

2

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用和解三角形的應(yīng)用，考查基本不等式，考查了計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．