Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=2，a₁=2，等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₈．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由已知條件知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；由等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（II）由題意知cn=anbn=n2n+1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（I）∵a_n+1-a_n=2，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）2=2n，（3分）
∵等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，
∴q3=

b4

b1

=8，q=2，
則bn=2n．（6分）
（II）∵a_n=2n，b_n=2ⁿ，
∴cn=anbn=n2n+1，
則Tn=1•22+2•23+3•24+…+n2n+1，
2Tn=1•23+2•24+3•25+…+n2n+2，
兩式相減得-Tn=1•22+2•23+3•24+…+2n+1-n2n+2，（9分）
整理得Tn=(n-1)2n+2+4．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要注意錯位相減法的合理運用．