Question

已知函數(shù)f（x）=log_m

1+x

x-1

（其中m＞0且m≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的定義域，根據(jù)f（-x）與f（x）的關(guān)系判定f（x）的奇偶性；
（2）化簡f（x）的解析式，判定當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，在0＜m＜1的條件下，f（x₁）與f（x₂）的大小，從而證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_m

1+x

x-1

，
∴

1+x

x-1

＞0，
解得-1＜x＜1；
∴函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1）；
又f（-x）=log_m

1-x

-x-1

=log_m

x-1

x+1

=log_m(

1+x

x-1

)-1
=-log_m

1+x

x-1

=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
（2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
證明如下：設(shè)任意的1＜x₁＜x₂，
∵f（x）=log_m

1+x

x-1

=log_m

x-1+2

x-1

=log_m（1+

2

x-1

），
∴0＜x₁-1＜x₂-1，
∴

1

x1-1

＞

1

x2-1

＞0，
∴1+

2

x1-1

＞1+

2

x2-1

＞1；
又∵0＜m＜1，
∴l(xiāng)og_m（1+

2

x1-1

）＜log_m（1+

2

x2-1

），
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)的定義域問題，是綜合題．