Question

如圖，四邊形ACBD內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD相交于M，AC⊥BD，E是DC中點連結(jié)EM交AB于F，作OH⊥AB于H，求證：
（1）EF⊥AB          
（2）OH=ME．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出ME=CE，∠CME=∠MCB，從而得到∠AMF=∠ABM，由此能夠證明EF⊥AB．
（2）由已知條件推導(dǎo)出EF∥OH，HM∥OE，從而得到四邊形HMEO是平行四邊形，由此能夠證明OH=ME．

解答： 證明：（1）∵AC⊥BD，CE=DE，
∴ME=CE，∠CME=∠MCB，
∵∠ABM=∠MCB，∠AMF=∠EMC，
∴∠AMF=∠ABM，
∴∠FAM+∠AMF=∠ABM+MAB=90°，
∴EF⊥AB．
（2）∵E是CD的中點，∴OE⊥CD，OH⊥AB，
由（1）EF⊥AB，又OH⊥AB，
EF∥OH，同理，HM∥OE，
∴四邊形HMEO是平行四邊形，
∴OH=ME．

點評：本題考查直線垂直的證明，考查線段相等的證明，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的靈活運用．