Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n+1（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列b_n的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)a_n與S_n的關系，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n=

1

anan+1

的通項公式，利用裂項法即可求數(shù)列b_n的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+2n+1，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
當n=1時，a₁═S₁=1+2+1=4，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

4， n=1 2n+1， n≥2

；
（2）令b_n=

1

anan+1

，則b₁=

1

a1a2

=

1

4×5

，
當n≥2時，求b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
則數(shù)列b_n的前n項和T_n=

1

4×5

+

1

2

（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

2n+3

）=

1

20

+

1

2

×

1

5

-

1

2n+3

×

1

2

=

3

20

-

1

4n+6

．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．