如圖，已知拋物線y2=x，過原點O作兩條相互垂直的直線，分別交拋物線于點P，Q
（1）求證：直線PQ過定點，并求該定點的坐標(biāo)．
（2）若過點Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸的交點為T，且Q為線段RT的中點，求△PQT面積最小時，點Q的橫坐標(biāo)．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)OP：y=kx，與拋物線y2=x交于P（
1
k2
，
1
k
），由OQ⊥OP，得Q（k2，-k），由此能求出PQ的方程，從而能證明PQ過定點M（1，0）．
（2）設(shè)T（k2+h，0），R（k2-h，-2k），R在拋物線上，從而培育出S△PQT=
1
2
TM•|yP-yQ|=
1
2
（1+2k2）|
1
k
+k|，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)k=土
-3+
33
12
時，S△PQT取最小值，從而能求出點Q的橫坐標(biāo)．
解答： （1）證明：設(shè)OP：y=kx，與拋物線y2=x交于P（
1
k2
，
1
k
），
∵OQ⊥OP，∴以-
1
k
代k，得Q（k2，-k），
∴PQ的斜率kPQ=
1
k
+k
1
k2
-k2
=
1
1
k
-k
=
k
1-k2
，
∴PQ的方程：y+k=
k
1-k2
(x-k2)，
整理得kx+（k2-1）y-k=0，
∴PQ過定點M（1，0）．
（2）設(shè)T（k2+h，0），R（k2-h，-2k），
R在拋物線上，∴4k2k2-h，h=-3k2，∴T（-2k2，0），
∴S△PQT=
1
2
TM•|yP-yQ|=
1
2
（1+2k2）|
1
k
+k|，
設(shè)f（k）=（1+2k2）•
1+k2
k
=2k3+3k+
1
k
，k＞0，
f'（k）=6k2+3-
1
k2
=
1
k2
（6k4+3k2-1）
=6（k2-
-3-
33
12
）（k2-
-3+
33
12
）•
1
k2
，
當(dāng)k=土
-3+
33
12
時，S△PQT取最小值，
∵Q（k2，-k），
∴△PQT面積最小時，點Q的橫坐標(biāo)xQ=
33
-3
12
．
點評：本題考查直線過定點坐標(biāo)的證明，考查三角形面積最小時點的橫坐標(biāo)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n+1（n∈N*），
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn=
1
anan+1
，求數(shù)列bn的前n項和Tn．

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設(shè)計求滿足1+2+22+23+…+2n-1＞10000的最小正整數(shù)n的程序框圖，并編寫相應(yīng)的程序．

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寫出符合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）頂點為坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，點M（a，2）到準(zhǔn)線的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1有共同的漸近線且過點A（2，-3），求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，半徑為1的圓O，∠AOB=∠BOC=∠COA=
2π
3
，點A0，B0，C0分別是半徑OA、OB、CO上的動點，且OA0=OB0=OC0，分別過A0，B0，C0作半徑OA、OB、CO的垂線，交圓O與A1，A2，B1，B2，C1，C2，過A2，B1分別作OA、OB的平行線A2M和B1M交于點M，過B2，C1分別作OB、OC的平行線B2N和C1N交于點N，過C2，A1分別作OC、OA的平行線C2P和A1P交于點P，由A1A2MB1B2NC1C2P圍成圖所示的平面區(qū)域（陰影部分），記它的面積為y，設(shè)∠A2OA=θ，用y=f（θ）表示y關(guān)于θ的函數(shù)．
（1）設(shè)θ∈（0，
π
3
]，求y=f（θ）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求y=f（θ）的最大值，并求出當(dāng)函數(shù)取最大值是時tan2θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)實部為正數(shù)的復(fù)數(shù)z，滿足|z|=
10
，且復(fù)數(shù)（1+2i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若
.
z
+
m-i
1+i
（m∈R）為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為原點，A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓C：
x2
m
+
y2
4
=1（0＜m＜4）上任意兩點，向量
p
=（x1，
y1
2
），
q
=（x2，
y2
2
）且
p
⊥
q
，橢圓的離心率e=
3
2
，求△AOB的面積是否為定值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線L：
x=2+tcosα
y=1+ysinα
（t為參數(shù)，α為直線的傾斜角）交橢圓
x2
16
+
y2
4
=1于A、B兩點，若點M（2，1）恰好為線段AB的中點，求直線L的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若線段x+y=1（-1≤x≤1）與橢圓
x2
3
+
y2
2
=k（k＞0）沒有交點，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案