Question

已知函數(shù)y=

ax2+2ax+1

的定義域為R．
（1）求a的取值范圍．
（2）若函數(shù)的最小值為

2

2

，解關(guān)于x的不等式x²-x-a²-a＜0．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)y=

ax2+2ax+1

的定義域是R，得出ax²+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范圍；
（2）由題意得ax²+2ax+1的最小值是

1

2

，求出a的值，代入不等式x²-x-a²-a＜0，求解集即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=

ax2+2ax+1

的定義域為R，
∴a=0時，滿足題意；
a＞0時，△=4a²-4a≤0，解得0＜a≤1；
∴a的取值范圍是{a|0≤a≤1}；
（2）∵函數(shù)y的最小值為

2

2

，
∴

ax2+2ax+1

≥

2

2

，a∈[0，1]；
∴ax²+2ax+1≥

1

2

；
當(dāng)a=0時，不滿足條件；
當(dāng)1≥a＞0時，ax²+2ax+1的最小值是

4a-4a2

4a

=

1

2

，∴a=

1

2

；
∴不等式x²-x-a²-a＜0可化為x²-x-

3

4

＜0，
解得-

1

2

＜x＜

3

2

；
∴不等式的解集是{x|-

1

2

＜x＜

3

2

}．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用以及不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化條件，從而獲得解答問題的途徑，是綜合性題目．