Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)（n+1，

1

Sn+n+3

）在函數(shù)y=

1

2x+1

的圖象上
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）（文科）如b_n=n（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（理科）若b_n=

n

an+1-an

，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：對(duì)任意的n∈N，都有T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題設(shè)得

1

Sn+n+3

=

1

2n+1+1

，從而得到an=Sn-Sn-1=2n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）（文）由bn=n•2n，利用錯(cuò)位相減法能求出{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．
（理）bn=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，由此利用錯(cuò)位相減法能證明Tn ＜2．

解答： （1）解：由題設(shè)得

1

Sn+n+3

=

1

2n+1+1

，
∴Sn+n+3=2n+1+1，Sn=2n+1-n-2，
n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)也滿足，∴an=2n-1．…（6分）
（2）（文）解：bn=n•2n，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，（1）
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，（2）
（1）-（2），-T_n=1×2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n×2n+1 ，
∴Tn =(n-1)•2n+1+2．…（13分）
（理）證明：bn=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，
Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，①

1

2

Tn =

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②，整理得
Tn =2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

2+n

2n

＜2．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．