Question

設(shè)f₁（x）=sinx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N⁺，若△ABC的內(nèi)角滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₅（A）=

2

2

，則A=

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式直接進(jìn)行求導(dǎo)，得到函數(shù)f_n（x）具備周期性，然后根據(jù)周期性將條件進(jìn)行化簡，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f₁（x）=sinx，f_n+1（x）=f′_n（x），
∴f₂（x）=f′₁（x）=cosx，
f₃（x）=f′₂（x）=-sinx，
f₄（x）=f'₃（x）=-cosx，
f₅（x）=f′₄（x）=sinx，
f₆（x）=f′₅（x）=cosx，
∴f_n+1（x）=f′_n（x），具備周期性，周期性為4．
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=cosx-sinx+sinx-cosx=0，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₅（A）=

2

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，
∴f₁（A）+f₂（A）+f₃（A）=cosA=

2

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∴A=45°
故答案為：45°

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，利用條件得到函數(shù)具備周期性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．