Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F₁的直線與的左、右兩支分別交于B，A兩點．若△ABF₂為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A、y=±

  15

  x
• B、y=±

  6

  x
• C、y=±

  3

  3

  x
• D、y=±

  2

  x

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c²=7a²，結(jié)合雙曲線漸近線方程即可的結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，
解得c²=7a²，則b=

c2-a2

=

6a2

=

6

a，
由此可得雙曲線C的漸近線方程為y=±

b

a

x=±

6

x，
故選：B

點評：本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．