【題目】如圖，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且平面與平面互相垂直.若多面體 的體積為，則該多面體外接球表面積的最小值為（ ）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)出正方形邊長和矩形的高，根據(jù)體積公式，求得等量關(guān)系；再找到球心，求得半徑，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，則問題得解.

根據(jù)題意，連接交于點(diǎn)，過作//交于點(diǎn)，交于，連接.

因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，故可得，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，且交線為，又平面，故平面，

不妨設(shè)，

故可得多面體的體積；

則，解得；

又容易知多面體外接球的球心在四邊形外心的垂線上，且為的中點(diǎn)，

設(shè)外接球半徑為，則；

將代入可得，不妨令，

則，則，容易知是關(guān)于的單調(diào)增函數(shù)，

且當(dāng)時，，故可得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減.

故.

則外接球表面積的最小值.

故選：B.

練習(xí)冊系列答案
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B. 點(diǎn)在某個球面上運(yùn)動

C. 存在某個位置，使得直線與所成角為

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A.[0，e3﹣4]B.[0，2]

C.[2，e3﹣4]D.[e3﹣4，+∞）

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