Question

由于霧霾日趨嚴(yán)重，政府號召市民乘公交出行．但公交車的數(shù)量太多會造成資源的浪費(fèi)，太少又難以滿足乘客需求．為此，某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，共抽取10人進(jìn)行調(diào)查反饋，所選乘客情況如下表所示：

組別	候車時間（單位：min）	人數(shù)
一	[0，5）	1
二	[5，10）	5
三	[10，15）	3
四	[15，20）	1

（1）估計(jì)這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；
（2）現(xiàn)從這10人中隨機(jī)取3人，求至少有一人來自第二組的概率；
（3）現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)這3個人共來自X個組，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)15名乘客中候車時間少于10分鐘頻數(shù)和為6，可估計(jì)這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；
（2）利用對立事件的概率公式，可求至少有一人來自第二組的概率；
（3）X的可能值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求出求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）候車時間少于10分鐘的人數(shù)為60×(

1

10

+

5

10

)=36人；     …（3分）
（2）設(shè)“至少有一人來自第二組為事件A”P(A)=1-

C 3 5

C 3 10

=

11

12

…（7分）
（3）X的可能值為1，2，3
P(X=1)=

C 3 5 + C 3 3

C 3 10

=

11

120

，
P(X=2)=

( C 2 5 + C 2 3 )×2+ C 2 5 C 1 3 + C 2 3 C 1 5

C 3 10

=

71

120

，
P(X=3)=

C 1 3 C 1 5 ×2+ C 1 5 + C 1 3

C 3 10

=

38

120

…（10分）
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	11 120	71 120	38 120

EX=

11+2×71+3×38

120

=

267

120

=

89

40

…（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是頻率分布直方表，古典概型概率公式，考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，正確求概率是關(guān)鍵．