Question

已知矩形的兩邊長分別為tan

θ

2

和1+cosθ（0＜θ＜π），且對任何x∈R，θ都能使f（x）=sinθ•x²+

4	3

x+cosθ≥0，則這些矩形的面積有最大值

 

，最小值

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的化簡求值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：△=(

4	3

)2-4sinθcosθ≤0恒成立⇒sin2θ≥

3

2

，又0＜θ＜π，可得

π

6

≤θ≤

π

3

；設(shè)該矩形的面積為S，易求S=sinθ，且在[

π

6

，

π

3

]上單調(diào)遞增，從而可得答案．

解答： 解：依題意知，sinθ＞0，△=(

4	3

)2-4sinθcosθ≤0恒成立，即sin2θ≥

3

2

，
又0＜θ＜π，
∴

π

3

≤2θ≤

2π

3

，即

π

6

≤θ≤

π

3

；
設(shè)該矩形的面積為S，則S=tan

θ

2

（1+cosθ）=tan

θ

2

•2cos2

θ

2

=2sin

θ

2

cos

θ

2

=sinθ，
∵

π

6

≤θ≤

π

3

，S=sinθ在[

π

6

，

π

3

]上單調(diào)遞增，
∴S_max=S（

π

3

）=

3

2

，S_min=S（

π

6

）=

1

2

；
故答案為：

3

2

，

1

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，著重考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，其中，求得

π

6

≤θ≤

π

3

是關(guān)鍵，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．