Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,數(shù)列遞推式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且數(shù)列{a_n}滿足f（sn+2）-f（an）=f（3）（n∈N*），可得數(shù)列{a_n}是一個以1為首項，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列的通項公式．

解答： 解：∵對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f（sn+2）-f（an）=f（3）（n∈N*），
∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴s_n+2=3a_n…①
當(dāng)n=1時，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
當(dāng)n≥2時，s_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

∴數(shù)列{a_n}是一個以1為首項，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=(

3

2

)n-1．
故答案為：(

3

2

)n-1

點(diǎn)評：本題以抽象函數(shù)為載體考查了等比數(shù)列通項公式的求法，其中根據(jù)已知得到f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）是解答的關(guān)鍵．