Question

已知⊙O的半徑R=2，P為直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PB=3，割線PDC交⊙O于D，C兩點(diǎn)，E為⊙O上一點(diǎn)，且

AC

=

AE

，DE交AB于F，則OF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：弦切角

專題：立體幾何

分析：作直徑EG，交圓于G點(diǎn)，連EC交AP于H點(diǎn)，由已知條件得OH是三角形ECG的中位線，得∠P=∠PCG=∠DEG，從而得到△EOF∽△PDF，進(jìn)而OF•PF=EF•DF=AF•BF，由此能求出OF．

解答： 解：作直徑EG，交圓于G點(diǎn)，連EC交AP于H點(diǎn)，
∵

AC

=

AE

，由垂徑定理得H是EC中點(diǎn)，
又O是EG中點(diǎn)，∴OH是三角形ECG的中位線，
∴AP∥CG，
∴∠P=∠PCG=∠DEG，
又∠EFO=∠PFD，
∴△EOF∽△PDF
∴OF•PF=EF•DF=AF•BF，
設(shè)OF=x，則x（5-x）=（2+x）（2-x），
解得x=

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意垂徑定理和三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．