Question

7．已知f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，則f（x）的圖象在點(diǎn)（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））處的切線斜率是-1．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）解析式確定出f′（x）解析式，把x=$\frac{2}{3}$代入計(jì)算求出f′（$\frac{2}{3}$）的值，即為所求切線的斜率．

解答 解：∵f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，
∴f′（x）=3x²+2f′（$\frac{2}{3}$）x-1，
把x=$\frac{2}{3}$代入得：f′（$\frac{2}{3}$）=3×（$\frac{2}{3}$）²+2f′（$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$-1，
解得：f′（$\frac{2}{3}$）=-1，
則f（x）的圖象在點(diǎn)（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））處的切線斜率是-1，
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng) 此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．