已知函數(shù)f(x)=(ax2+2x-a)•ex(a∈R).
(1)若函數(shù)y=f(x)在x=-2處取得極值,求a的值,并判斷取得的極值是極大值還是極小值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=2ex+b,求a+b的值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用極值點(diǎn)必為f′(x)=0的根,求出a的值.利用函數(shù)的單調(diào)性,可確定函數(shù)的極值.
(2)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=2ex+b,即可求出a,b的值,從而求a+b的值.
解答: 解:(1)f′(x)=(ex)′•(ax2+2x-a)+ex•(ax2+2x-a)′=[ax2+(2a+2)x+2-a]ex,
∵函數(shù)y=f(x)在x=-2處取得極值,
∴f′(-2)=0,
∴4a(2a+2)(-2)+2-a=0,
∴a=-2,
∴f′(x)=-2ex(x+2)(x-1),
∴函數(shù)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,1)上單調(diào)遞增,
∴函數(shù)y=f(x)在x=-2處取得極小值;
(2)f′(1)=(2a+4)e,
∵函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=2ex+b,
∴(2a+4)e=2e,
∴a=-1,
∵f(1)=2e,
∴2e+b=2e,
∴b=0,
∴a+b=-1.
點(diǎn)評:本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)是偶函數(shù),而y=f(x+1)是奇函數(shù),且對任意0≤x≤1,都有f′(x)≥0,則a=f(
98
19
),b=f(
101
17
),c=f(
106
15
)的大小關(guān)系是( 。
A、c<b<a
B、c<a<b
C、a<c<b
D、a<b<c

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知ω>0,-π<φ<π,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)解析式為( 。
A、f(x)=3sin(
1
2
x+
3
B、f(x)=3sin(
1
2
x-
π
3
C、f(x)=3sin(
1
2
x+
π
3
D、f(x)=3sin(2x+
π
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知它的公差不等于零,S3=a22,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=anan+1,求數(shù)列{
1
bn
}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計算:
(1)(C
 
2
100
+C
 
97
100
)÷A
 
3
101
;                      
(2)C
 
3
3
+C
 
3
4
+…+C
 
3
10

(3)
C
m
n+1
C
m
n
-
C
n-m+1
n
C
n-m
n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+an+1=6n+1(n∈N*
(1)若{an}是等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=3,Sn是數(shù)列{an}的前n項的和,設(shè)bn=
2
2Sn+5n
,是否存在正整數(shù)k,使得
1
8
<b2+b4+…+b2k
1
7
?若存在,求出所有的k值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某英語學(xué)習(xí)小組共12名同學(xué)進(jìn)行英語聽力測試,隨機(jī)抽取6名同學(xué)的測試成績(單位:分),用莖葉圖記錄如下,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù).
(1)根據(jù)莖葉圖計算樣本均值;
(2)成績高于樣本均值的同學(xué)為優(yōu)秀,根據(jù)莖葉圖估計該小組12名同學(xué)中有幾名優(yōu)秀同學(xué);
(3)從該小組12名同學(xué)中任取2人,求僅有1人是來自隨機(jī)抽取6人中優(yōu)秀同學(xué)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某牛奶廠2008年初有資金1000萬元,由于引進(jìn)了先進(jìn)設(shè)備,資金年平均增長率可達(dá)到50%.每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金x萬元后,剩余資金投入再生產(chǎn).
(1)分別寫出這家牛奶廠2009年初和2010年初投入再生產(chǎn)的剩余資金的表達(dá)式.
(2)預(yù)計2012年底,這家牛奶廠將轉(zhuǎn)向經(jīng)營,需資金2000萬元(該年底不再扣除下年的消費(fèi)基金),當(dāng)消費(fèi)基金x不超過多少萬元時,才能實現(xiàn)轉(zhuǎn)向經(jīng)營的目標(biāo)(精確到萬元)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解方程:x(x-1)(x+3)(x+4)-60=0.

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