Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（b＞a＞0）的離心率為

3

2

，其中一個(gè)焦點(diǎn)F（

3

，0）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)P，l₁，l₂是過(guò)點(diǎn)P且相互垂直的兩條直線，l₁與以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓交于兩點(diǎn)M、N，l₂交橢圓E與另一點(diǎn)D，求△MND面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由題意知

c

a

=

3

2

，c=

3

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：kx-y-1=0，直線l₂：x+ky+k=0，直線l₁被圓x²+y²=4所截的弦長(zhǎng)|MN|=

2 3+4k2

1+k2

，由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

，得（k²+4）x²+8kx=0，|DP|=

8 k2+1

k2+4

，由此能求出△MND面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（b＞a＞0）的離心率為

3

2

，
其中一個(gè)焦點(diǎn)F（

3

，0），
∴

c

a

=

3

2

，c=

3

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵直線l₁⊥l₂，且都過(guò)點(diǎn)P（0，-1），
①當(dāng)直線l₁，l₂的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線l₁：y=kx-1，即kx-y-1=0，
直線l₂：y=-

1

k

x-1，即x+ky+k=0，
∴圓心（0，0）到直線l₁：kx-y-1=0的距離為d=

1

1+k2

，
∴直線l₁被圓x²+y²=4所截的弦長(zhǎng)|MN|=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

，
由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

，得（k²+4）x²+8kx=0，
∴xD+xP=-

8k

k2+4

，
∴|DP|=

(1+ 1 k2 )• 64k2 (k2+4)2

=

8 k2+1

k2+4

，
S△ABD=

1

2

|MN|•|DP|=

1

2

×

2 3+4k2

1+k2

×

8 k2+1

k2+4

=

8 4k2+3

k2+4

=

4×8 4k2+3

4k2+3+13

=

32

4k2+3 4k2+3 + 13 4k2+3

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 13

=

16

13

13

．
當(dāng)且僅當(dāng)

4k2+3

=

13

4k2+3

，即k2=

5

2

時(shí)，等號(hào)成立，
∴△MND面積的最大值為

16

13

13

．
②當(dāng)l₁，l₂有1條斜率不存在時(shí)，△MND的面積為2

3

，
綜上，△MND面積的最大值為

16

13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．