設二次函數(shù)f（x）=-x2+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)y=（
1
2
）f（x）的最小值；
（Ⅱ）問是否存在這樣的正數(shù)m，n，當x∈[m，n]時，g（x）=f（x），且g（x）的值域為[
1
n
，
1
m
]？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，請說明理由．
考點：二次函數(shù)的性質
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：（Ⅰ）先利用二次函數(shù)的性質求得函數(shù)f（x）的最小值，進而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得y的最小值．
（Ⅱ）先根據(jù)題意判斷出1≤m＜n，進而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分別求得f（n）=
1
n
，f（m）=
1
m
求得n和m．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-（x-1）2+1≤1，
又y=（
1
2
）t，為減函數(shù)，因此，當x=1時y有最小值
1
2
．
（Ⅱ）g（x）=f（x）=2x-x2=-（x-1）2+1≤1，
又m＞0，n＞0，
∴
1
m
≤1，m≥1，即1≤m＜n，f（x）為減函數(shù)，
于是
1
n
=g（n）=-n2+2n，即（n-1）（n2-n-1）=0，
∴
1
m
=g（m）=-m2+2m，即（m-1）（m2-m-1）=0，
∵1≤m＜n，
∴m=1，n=
1+
5
2
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質．特別是對二次函數(shù)單調(diào)性的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（-1，
3
），
n
=（cosx，sinx），f（x）=
m
•
n

（Ⅰ）若cosθ=
3
5
，0＜θ＜
π
2
，求f（θ）；
（Ⅱ）若1≤f（θ）≤
3
，θ∈[0，π]，求θ的取范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求函數(shù)F（θ）=
f(θ)
f(
π
2
+θ)
的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

M是橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一點，F(xiàn)是橢圓T的右焦點，A為左頂點，B為上頂點，O為坐標原點，如下圖所示，已知|MF|的最大值為3+
5
，最小值為3-
5
．
（1）求橢圓T的標準方程；
（2）求△ABM的面積的最大值S0．若點N（x，y）滿足x∈Z，y∈Z，稱點N為格點．問橢圓T內(nèi)部是否存在格點G，使得△ABG的面積S∈（6，S0）？若存在，求出G的坐標；若不存在，請說明理由．（提示：點P（x0，y0）在橢圓T內(nèi)部?
x02
a2
+
y02
b2
＜1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
11
6
π）+cos（
7π
3
-2x）（x∈R）．
（Ⅰ）用“五點法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）在區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinα=
5
13
，且α∈（
π
2
，π）．
（1）求tanα的值；
（2）求
cos2α
2
sin(α+
π
4
)
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（b＞a＞0）的離心率為
3
2
，其中一個焦點F（
3
，0）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E與y軸的負半軸交于點P，l1，l2是過點P且相互垂直的兩條直線，l1與以橢圓E的長軸為直徑的圓交于兩點M、N，l2交橢圓E與另一點D，求△MND面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA：sinB：sinC=3：2：4，則cosC=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}滿足a3a4=2，則log2a1+log2a6=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若A={x|0＜x＜
2
}，B={x|1≤x＜2}，則A∪B=
 
．

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