Question

11．已知圓C：x²+y²+6x+8=0的圓心為C，圓外一定點(diǎn)A（3，0），圓上一點(diǎn)動(dòng)B，線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，求M的軌跡方程，并說明它是什么曲線．

Answer 1

分析 由圓的方程可以得出圓心C（-3，0），半徑為1，可畫出圖形，并連接MA，由圖形便可得出||MA|-|MC||=1，根據(jù)雙曲線的定義便知M的軌跡為雙曲線，并可求出a，b，從而可得出雙曲線的方程．

解答 解：圓的方程變成：（x+3）²+y²=1，∴圓心C（-3，0），半徑為1，如圖，連接MA，則|MB|=|MA|；
∵||MB|-|MC||=1；
∴||MA|-|MC||=1＜6；
∴M點(diǎn)的軌跡是以C（-3，0），A（3，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線；
$a=\frac{1}{2}，c=3，^{2}=\frac{35}{4}$；
∴M點(diǎn)的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{35}{4}}=1$；
即$4{x}^{2}-\frac{4{y}^{2}}{35}=1$．

點(diǎn)評(píng) 考查線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的圓心和半徑，以及雙曲線的定義．